Im Folgenden wollen wir ein letztes Mal Stoff aus dem letzten Semester wiederholen.

Sie erinnern sich vielleicht in der letzten Vorlesungswoche im Sommersemester haben wir

kurz über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen

gesprochen und diese werden wir noch einmal kurz wiederholen. Dann haben wir alles zusammen,

was wir an Theorie brauchen, um die dynamischen kontinuierlichen Systeme mathematisch

charakterisieren zu können. Wir beginnen erstmal damit einem klein motivierenden Beispiel überhaupt,

warum sind Existenz und Eindeutigkeit von gewöhnlichen Differentialgleichungen nicht

selbstverständlich? Das heißt, wir geben Gegenbeispiele für Differentialgleichungen,

die keine Lösung oder keine eindeutigen Lösungen haben. Das heißt, wir fangen erstmal an mit einem

Beispiel, das überhaupt keine Lösung besitzt, also die gewöhnliche Differentialgleichung, die

wie folgt gegeben ist. Und zwar definieren wir jetzt, wir hätten gerne die Exponentialfunktion

hoch, einer unbekannten Funktion und deren Ableitung y' von x und das Ganze soll konstant

die Null sein für alle x aus R. Das ist sozusagen die Differentialgleichung mit der unbekannten

Funktion y und ich behaupte jetzt, diese Differentialgleichung besitzt keine Lösung.

Also besitzt keine Lösung. Es gibt keine Funktion y, die von R nach R bildet und diese

Differentialgleichung erfüllen kann. Und es ist nicht nur so, dass wir keine Funktion finden,

die nicht überall Null erzeugt in der Gleichung, sondern wir finden nicht mal eine, die es an

einer einzigen Stelle schafft. Warum ist das so? Die Exponentialfunktion ist strikt positiv,

also wir schaffen es nicht eine Nullstelle der Exponentialfunktion zu finden. Ja und damit ist

klar, können wir es auch nicht schaffen, überhaupt irgendwie ehoch eine beliebige Funktion Null zu

machen und dementsprechend können wir gar keine Lösung finden. Es gibt nicht mal einen Anfangswert,

der das erfüllt und damit bekommen wir auch keine Lösung der Differentialgleichung. Also,

da die Exponentialfunktion strikt positiv ist und somit insbesondere keine Nullstellen hat,

insbesondere keine Nullstellen besitzt. Ja und damit ist klar, existiert keine Funktion y,

die diese Gleichung erfüllt. Das war ein relativ triviales Beispiel. Nennen wir mal ein Beispiel,

das ein bisschen elaborierter ist. Da geht es darum, dass wir unterschiedliche Funktionsscharen

von Lösungen erhalten. Das ist vielleicht auch mal interessant zu sehen. Also, wir schauen uns

jetzt folgende gewöhnliche Differentialgleichung an. Wie ist die definiert? Wir wollen jetzt haben

y-strich von x multipliziert mit 1 minus y-strich von x und das soll auch konstant Null sein für

alle x aus R. Sie sehen schon, das ist eine Funktion, die gewisse Symmetrieeigenschaften hat.

Das ist ähnlich wie x mal 1 minus x und das Ganze soll immer die Null ergeben und glücklicherweise

besitzt diese Differentialgleichung Lösung nur leider keine eindeutigen. Also besitzt aufgrund

ihrer Symmetrieeigenschaften. Was müsste ich machen, damit ich Null erhalte? Wir schauen mal

auf die Differentialgleichung drauf. Entweder ist das y-strich, also die Ableitung nun, dann ist

einer der beiden Faktoren Null oder y-strich ist 1. Das sind die beiden Möglichkeiten und dementsprechend

kann man sich schon überlegen, welche Funktionen würden dann sowas erfüllen. Das sind entweder die

konstanten Funktionen, wenn ich die Ableitung bin ich Null oder es sind Funktionen, die linear sind

mit Faktor 1, sprich alle Funktionen der Form x plus c, wobei z eine konstante ist, die würden

das auch lösen, denn wenn ich Ableite, erhalte ich da gerade als Ableitung die 1. Also besitzt

aufgrund ihrer Symmetrieeigenschaften zwei unterschiedliche Funktionen als Lösung.

Funktionen scharen als Lösung. Wollen wir die doch mal festhalten. Die erste Funktionsschar von

Lösung ist wie folgt definiert. Da müsste man sich dann einen Anfangswert vorgeben, um es genau zu

bestimmen. y1 von x ist gleich einer konstanten c. So schreiben für alle x aus R. Ja und die zweite

Familie, das sind nicht die konstanten Funktionen, sondern wie ich gerade sagte die linearen, die

eine Steigung von 1 haben. Also y2 von x ist gleich x plus c für alle x aus R mit beliebiger

konstante c. Element R. Gut, da haben wir jetzt als motivierendes Beispiel schon gesehen, es ist

gar nicht so schwierig Möglichkeiten zu finden, dass Differentialgeläufe entweder gar keine Lösung

oder uneindeutige Lösung haben und das soll motivieren, warum die folgende Theorie und die

folgenden Sätze so wichtig sind in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichung. Wir werden

nämlich wieder uns den Satz von Picar-Lindelöf anschauen und diesmal in einer lokalen und in